Démonstration partielle de la propriété

Démonstration  pour le cas  `q>1`

On rappelle l'inégalité de Bernoulli démontrée en exercice.
`\forall a >0` , \(\forall n \in \mathbb{N}\) ,   \((1+a)^n \geqslant 1+na\) .

Comme `q>1` , il existe un réel  `a>0` tel que `q=1+a` .

D'après l'inégalité de Bernoulli,  \(\forall n \in \mathbb{N},\ q^n \geqslant 1+na\) .

Comme `a>0` , \(\lim\limits_{n \to +\infty}{na}=+\infty\)  et donc par somme  \(\lim\limits_{n \to +\infty}{1+na}=+\infty\) .

D'après le théorème de comparaison, \(\lim\limits_{n \to +\infty}{q^n}=+\infty\) .